开关磁阻电机稳态特性的等效磁网络模型分析方法

提　要　本文利用开关磁阻电机的等效磁网络模型，推导出了电机绕组满足的以绕组磁链为状态变量的微分方程，建立了电机稳态运行分析的数学模型。本文成功地将非线性磁参数法的思想从单相电流系统推广到了多相电流系统，对开关磁阻电机的理论研究具有重要的意义。
　　关键词　开关磁阻电机　　稳态特性　　等效磁网络　　数学模型
1　前言
　　开关磁阻电机(SRM)具有结构简单、运行可靠、响应快和效率高等优点，在电机驱动系统中具有广阔的发展前景。研究电机的运行特性，以便对电机及驱动系统进行优化设计， 这是目前开关磁阻电机理论的主要发展方向。
　　开关磁阻电机稳态分析常用的方法是非线性磁参数法[1～3]，该方法计算结果准确，然而只适应于电机单相通电时的情况；分析电机多相同时通电情况下的运行特性通常先求解绕组满足的以相电流为状态变量的状态方程[4]，这种方法需计算电机电感参数，由于绕组电感既是绕组电流又是转子位置角的函数，要精确计算磁路饱和情况下的绕组电感很困难；文献[5]提出了一种联立求解绕组满足的电压方程和电机磁场满足的泊松方程的模型方法，这种方法可精确计算多相同时通电情况下电机的运行特性，但将场域求解引入动态计算，计算量很大。最初，电机的等效磁网络模型主要是为了计算电机的静态参数而提出来的[6,7]，用开关磁阻电机的等效磁网络模型直接分析电机运行特性的方法还未见过报导。
　　非线性磁参数法在将ψ（θ，i）反演为i（θ，ψ）时，要求ψ和i是一一对应的，这就限制了这种方法只能分析单相通电的情况。但从另一个角度来分析，电机某相绕组的磁链ψ与该相定转子齿层上的磁压降ΔU是一一对应的，磁压降ΔU通过等效磁网络可以和多相电流系统建立联系，因此通过电机的等效磁网络模型可以将非线性磁参数法的思想从单相电流系统推广到多相电流系统。这就是本文的建模思想。
　　本文第一部分在电机的等效磁网络模型的基础上，推导出了电机绕组 满足的以磁链为状态变量的状态方程，建立了开关磁阻电机稳态特性分析的数学模型。第二部分针对一套具体的驱动系统，对样机的稳态特性进行了仿真计算，计算结果与实测结果很接近，证明所提出的模型方法是正确的。
2　电机的等效磁网络模型
　　一台典型的四相8/6极开关磁阻电机的截面图如图1所示。文献[6]提出了考虑电机相间耦合作用的等效磁网络模型，文献[7]提出了电机的变网络等效磁路模型。本文，我们参照文献[8]所提出的“重复单元法”和文献[6]所提出的等效磁网络来建立开关磁阻电机的等效磁网络模型。


图1　四相8/6极开关磁阻电机截面图
Fig.1 Cutaway view of a four phase 8/6 poles SRM
2.1　重复单元的定义
　　为了能研究定子轭、定子极的磁路饱和对电机运行特性的影响，与文献[8]的定义有区别，本文“重复单元”的划分如图1中虚线框所示，它是一个关于定子极轴线对称的45°(机械角)的扇形区域，包括定子极的前半部分、气隙、转子极和相应的转子轭。在重复单元中假设转子内圆和定子极中间处弧
为两个磁势等位面。
　　首先分析等位面的选取是否合理。开关磁阻电机中定子磁极与转子磁极刚刚交叠时，电机内磁场的分布情况最复杂，磁路的局部饱和现象最严重，分析这种情况下定转子极内的磁势等位面的情况具有代表性。针对电机单相通电，定子磁极与转子磁极交叠3°的情况，用有限元法对整个电机进行场域求解，计算中所施加的集中磁势为2500A，此时计算样机的磁路相当饱和，图2为样机中磁力线的分布图，图3为样机定转子极中磁势等位线的分布图。从图3可见，本文重复单元中两个等位面的设置是合理的。


图2　样机中磁力线的分布图
Fig.2 Flux distribution of the prototype


图3　样机定转子极中磁势等位线的分布图
Fig.3 Equipotential lines in stator/rotor poles of the prototype
另外还需指出的是，虽然在四相8/6极开关磁阻电机中定子极在几何结构上的轮换对称周期为45°，但转子极的轮换对称周期却为60°，因此上面给出的“重复单元”的定义在理论上是不严密的。但实际电机中定子、转子极弧一般在17°～30°的范围内取值，而且重复单元的等效磁导主要是由气隙的大小决定的。如果将上面重复单元的定义改为60°，针对样机进行计算，发现“60°重复单元”的等效磁导和“45°重复单元”的等效磁导的相对误差不超过5%，因此这里将“重复单元”定义为关于定子极轴线对称的45°的扇形区域是合理的。

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6 Lipo T.A,Moreira J.C.Simulation of a four phase switched reluctance motor including the effects of mutual coupling.Proc,of Beijing Int.Conf.on Electrical Machine,August,1987
7 周鄂，蒋全.开关磁阻电机的变网络等效磁路模型.全国电机学术年会论文集，1990
8 詹琼华.开关磁阻电动机，华中理工大学出版社，1992
9　Tohumcu M,Ertan H B.Prediction of Performance of Switched Reluctance Motor for Design Purpose.Proc.of Int.Conf.on Electrical Machine,1988
Equivalent Magnetic Circuit Analysis
Model of the Steady State Characteristics
for the Switched Reluctance Motor
PartⅠ Mathematics Model
Tong Huai Fu Guangjie
Huang Shenghua Zhan Qionghua
(Guangdong University of Technology Guangzhou 510643)
Abstract　A steady state analysis model of the switched reluctance motor was presented in this paper,with the state equations established by taking the flux linkages of the phase windings as state variable,based on the use of the magnetic equivalent circuit of the motor.In this paper,the nonlinear magnetization data method is firstly extended from the monophase current system to the poly-phase current system,and it is of important significance.
Key　Words　The switched reluctance motor steady state characteristics magnetic equivalent circuit mathematics model
　本文于1996年12月11日收到，1997年6月18日改回。
　　童　怀　男，30岁。湖南大学电机专业获学士学位，哈尔滨工业大学电机专业获硕士、博士学位，华中理工大学电工学科博士后，现于广东工业大学任教。主要从事磁阻电机的理论研究及其控制系统的设计开发工作。
　　傅光洁　女，59岁。华中理工大学电机专业副教授，主要从事控制电机的教学和科研工作。
　　黄声华　男，45岁。华中理工大学电机专业副教授，主要从事电机交流调速，电力电子技术的研究工作。
　　詹琼华　女，59岁，华中理工大学电机专业教授，博士后导师，主要从事开关磁阻电机的理论研究工作。
　(本站)

图6　重复单元的磁场储能
Fig.6 Magnetic field energy of duplicate element
这样重复单元的磁场储能为图中虚线部分的面积：


铁心部分各支路的磁场储能为：

　　式中，Vi为第i条磁支路对应的铁心部分的体积，Hi为第i条支路的磁场强度，为该支路的磁压降与磁路长度之比，Bi为对应的磁通密度，由Hi在铁心材料磁化曲线上通过插值求得。
　　漏磁导支路按线性磁导支路来求磁场储能
Wi＝0.5（ΔUi）2Gsl （23）
　　ΔUi为第i条漏磁导支路的磁压降，Gsl为相应漏磁导。
　　电机系统总的磁场储能为各磁导支路的磁场储能之和：
Wm＝∑Wi （24）
　　电机稳态运行时，系统磁场储能增量，电源输入电能及输出的机械能之间满足的关系式：
dWe＝dWm＋dWmec （25）
　　在dt时间内电源输入的净电能为

　　电机在稳态运行的转子转速被认为是恒值，在dt时间内电机输出的机械能为
dWmec＝（T＋T′）ωdt （27）
式中T为电机的瞬时转矩，T′为磨擦损耗和其它杂散损耗对应的转矩，ω为转子的机械角速度。
　　综合(25)～(27)，可以得到瞬时转矩的计算公式：


　　在式(28)中，不是在每个离散点上的磁储能计算出来之后就马上求磁场储能对转子位置角的微分，而是要等到一个周期中所有离散点上的磁场储能计算出来以后，将离散的磁场储能表示成付立叶级数：

　上式中［－l，l］为磁场储能的变化周期，这样有：

　　可以根据要求的计算精度确定上式求和项的项数，实际计算中一般取前四项就可以了。
　　在开关磁阻电机中，由于气隙磁场是脉振磁场，磁场储能是变化的，因此计算瞬时转矩时应考虑磁场储能的变化对瞬时转矩的影响［8］。本文利用电机等的等效磁网络模型来分析电机的稳态特性，任何时刻电机系统的磁场储能可以方便地求出来，磁场储能的变化对瞬时转矩的影响也容易研究。


图7 开关磁阴电机稳态运行仿真程序流程图
Fig.7 Flow chart of steady state simulation of the SR motor

　　在给出了电机绕组满足的状态方程和瞬时转矩的计算方法之后，图7给出基于本文的数学模型编写开关磁阻电机稳态运行仿真程序的程序框图。需指出的是，由于微分方程(19)具有渐近稳定性，这样在假定各相磁链的初始值为零的情况下最终可获得方程的稳态解。另外可以证明，在流程图中在求解非线性磁网络方程时所使用的迭代解法具有收敛性。限于篇幅，我们将另文对这些问题进行讨论。
5　结论
　　本文建立了开关磁阻电机的等值磁网络模型，推导出了电机绕组满足的以绕组磁链为状态变量的微分方程，通过求解微分方程计算出绕组的磁链之后，再计算稳态运行时的相电流和瞬时转矩。本文利用电机的等效磁网络可以方便地求出系统的磁场储能，从而分析磁场储能的变化对瞬时转矩的影响。本文在仿真计算时不需要计算绕组的增量自感和增量互感，而只需输入电机的结构参数，仿真计算原始数据的精度大大提高。
　　本文通过电机的等效磁网络模型建立了稳态分析的数学模型，成功地将非线性磁参数法的思想从单相电流系统推广到了多相电流系统，这对开关磁阻电机的理论研究具有重要的意义。
6　参考文献
1　Stemhenson J.M.Corda,J.Computation of torque and current in double salient reluctance motors with nonlinear magnetisation data.IEE Proc.1979,126(5.pt.B):393～396
2 刘迪吉.开关磁阻调速电动机非线性分析.南京航空学院学报，1989(1)
3　范瑜，王哈力等.开关磁阻电动机调速系统的数字仿真.中国电机工程学报，1995，15(2)：101～109
4　Arkadan,A.A,Kielgas,B.W.Switched reluctance motor driver system dynamic performance prediction and experimental verification.IEEE Transaction on Energy Conversion,1994,9(1):36～44
5 Longya Xu,Eric Ruckstadter.Direct modeling of switched reluctance machine by coupled field-circuit method.IEEE Transaction on Energy Conversion,1995,10(3):446～454

　　求重复单元的等效磁导时，先给出了定子极上集中绕组的磁势NI和定转子相对位置角θ，用有限元法对整个电机进行场域求解，然后求出两等位面间的磁压降F和径向穿过弧的磁通φ（F，θ），这样重复单元的等效磁导可按下式计算：
G＝φ（F，θ）／F（1）
在具体的计算时不是每次都进行场域求解，而是先在一组不同的转子位置角和绕组磁势下计算重复单元的φ/F曲线簇，要计算某一磁势F和某一转子位置角θ下重复单元的等效磁导，可先用插值方法求出对应的磁通φ（F，θ），如图4就是样机的重复单元的φ／F曲线簇。


图4　样机重复单元的φ/F曲线簇
Fig.4 φ/Fcurves of the prototype
2.2　电机的等效磁网络模型
　　为了使后面的数学推导不过于复杂，假设电机绕组采用反向串联方式，这样根据电机结构的对称性只需分析半个电机的情况，图5就是对应于半个电机的等效磁网络模型。电机绕组采用正向串联方式时，可按同样思路分析。


图5　开关磁阻电机的等效磁网络模型图
Fig.5 The magnetic equivalent circuit of the SRM
图5网络中参数的含义和计算方法如下：
　　G1～G4为重复单元的等效磁导，其计算方法已在上面进行了讨论
　　G5～G8为定子极极根后半部分的等效磁导：
Gi＝μFeBpLs／（0.5Hp）　（i＝5，6，7，8） （2）
　　μFe为定子轭部分铁心的磁导率，Bp，Hp分别为定子极的极宽和极高，Ls为定子铁心长度。Gsl为相邻极间等效漏磁导，可以用近似的公式计算：
Gsl＝0.5μ0HpLs／B0 （3）
　　μ0为空气的磁导率，B0为定子大槽的平均宽度。
　　G9～G12为每段定子磁轭的等效磁导：
Gi＝μFeAc／Lc　（i＝9，10，11，12） （4）
Ac为定子轭的等效截面积，Lc为每段定子轭的长度。
　　F1～F4为定子极上集中绕组产生的磁势：
Fk＝NIk　（k＝1，2，3，4） （5）
　　N为集中绕组的匝数，Ik为第k相的相电流。
3　电机绕组满足的状态方程
　　根据网络图中节点的编号，列出图5等效磁网络的节点方程如下：
[A][U]＝[B][F] （6）
式中


上标T是矩阵的转置符号，[U]是节点磁势列向量，[F]是绕组集中磁势列向量，[A]、[B]是系数矩阵。
　　根据图5的等值磁网络图，分析穿过定子极的磁链还可以得到一组等式，即穿过第i个定子极绕组中的磁链可表示为：
ψi＝N（Ui－Fi/2）Gi　（i＝1，2，3，4） （11）
写成矩阵形式：[ψ]＝[C][U]＋[D][F] （12）
式中

　　列向量［U］和［F］在上面已给出定义。
　　再看电机各相绕组，它们满足方程


式中r为绕组电阻，N为绕组匝数，这里认为每相绕组匝数和电阻都相等，ik、vk为第i相绕组的相电流和外加电压，ψi为第i相绕组匝链的磁链。
将(16)式写成矩阵形式：

式中
[V]＝（v1　v2　v3　v4）T （18）
　　[F]、[ψ]在上面已给出定义。
　　综合等式(6)、(12)、(17)，消去列向量[U]、[F]，可以得到一个以磁链列向量[ψ]为状态变量的状态方程：

　　通常在稳态仿真分析时是求解以相电流为状态变量的微分方程，而在这里，我们推导出了以绕组磁链为状态变量的微分方程(19)，方程中的系数矩阵［A］、［B］、［C］、［D］中的各元素可以根据图5中的磁导来确定。在稳态运行过程中的每一个确定的时刻，图5中等值磁网络中的各磁导都有一个确定的值，这样确定微分方程(19)的系数矩阵不需知道电机绕组的增量自感和增量互感，而只需知道电机的结构尺寸。
　　利用方程(19)求出各相绕组的磁链以及磁链的变化率之后就可以计算绕组的相电流：

4　稳态运行时瞬时转矩的计算
　　在给出瞬时转矩的计算公式之前先讨论系统磁场储能的计算方法。在求出了绕组电流之后，通过(6)式可求出各节点的磁势，然后求出各支路的磁压降，这样可求出各支路的磁场储能。
　　在时刻t,某相的转子位置角θ可以求出，从图4插值可以求出该相重复单元的φ／F曲线如图6所示，图中ΔUi为重复单元的磁压降，φi为ΔUi对应的磁通。