用特征根灵敏度分析进行静态无功补偿器的设计

摘　要　用特征根灵敏度分析方法进行静态无功补偿器(SVC)的设计。在设计过程中，借助于联合灵敏度系数来同时计及区域模式及SVC自身模式，从而在为区域模式提供最大阻尼的同时，保证SVC模式有9.5 dB的安全裕度。当对所有参数的联合灵敏度接近于0时，SVC的设置达到最优。
关键词　小干扰稳定　静态无功补偿　灵敏度分析
分类号　TM 761
STATIC VAR COMPENSATOR DESIGN BASED ON EIGENVALUE SENSITIVITY ANALYSIS
C.Y.Chung, K.W.Wang, C.T.Tse
(The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China)
Abstract　This paper presents a new approach based on eigenvalue sensitivity analysis for static VAR compensator (SVC) design. Since the SVC instability is detected during the design process, the design (structure and setting) is achieved through the combined sensitivity coefficient (CSC) which can automatically take into account the damping of both the inter-area and SVC modes. The setting is said to be optimal when the CSCs with respect to all damping controller parameters approach zero.
Keywords　small-signal stability；static VAR compensator；modal and sensitivity analyses
0　引言
　　网络互联引起的区域间的低频振荡早在30年前就已出现［1］。1977年在香港首次观察到此类振荡［2］，当时的解决方法是降低主要发电机组的励磁响应。自1984年香港与华南电网互联后，在联络线额定传输功率120 MW的情况下，又曾先后出现过几次振荡(幅值为±90 MW，持续时间长达50 s)［3］。此类联络线振荡现象严重影响着互联系统的安全运行。尽管电力系统稳定器(PSS)的使用可以增强发电机间机电振荡的阻尼，却不利于发电机的电压调节，并可能由于励磁模式的弱阻尼而产生新的振荡［4］。因此，希望采取其它一些方法，既能改善系统阻尼，又不恶化系统的性能。
　　电力电子技术的迅速发展，使得经济而有效的可控硅串、并联补偿装置得以应用［5］。静态无功补偿器(SVC)作为普通的并联补偿装置，于1977年首次应用于115 kV的电网［6］。最初的SVC只是用于控制电压，尽管它可以提供同步转矩，但提供的阻尼转矩甚小［5］，为了加大阻尼转矩，需在SVC上附加另外的控制器。但随着附加控制器增益的增大，可能出现新的不稳定模式，称为SVC模式［7］，正如PSS设计中所考虑的“局部模式”一样。因此，在进行控制器参数设置时应为该SVC模式留下一定的安全裕度(如文献［8］中的9.5 dB)。
　　在本文介绍的SVC设计方法中，采用特征根灵敏度法来对控制器参数进行调整，同时通过联合灵敏度系数来兼顾SVC模式的不稳定影响。最终设计的SVC既可保证主区域模式阻尼最大，也为SVC的局部模式留下9.5 dB的安全裕度。
1　SVC选址及阻尼信号选取
　　对图1所示的两区域7机系统［9］，原则上有6个机电振荡模式［10］，如表1所示。其中，第1个模式不稳定，且为区域之间通过联络线的振荡模式。当使用SVC来增强系统的振荡阻尼时，联络线信息应是理想的控制输入信号。

图1　7机互联系统
Fig.1　Interconnected seven-machine system
表1　7机系统的6个机电模式(λ=α±jω)
Table 1　Electromechanical modes (λ=α±jω)

序号模式αω稳定性
1区域模式0.043.42不稳定
2B4B1 B2 B3-0.415.77稳定
3B2B1 B3-0.496.23稳定
4B3B1 B2 B4-0.516.82稳定
5A3A1 A2 B1-1.287.64稳定
6A1A2-0.568.01稳定


　　以ISVC，VSVC为输入，BL为输出的SVC模型已在文献［9］中予以描述，VSVC，ISVC及BL分别为SVC所在的母线电压、流入SVC的电流及SVC的等值电纳。为增加系统阻尼，需要如图2中所示的附加阻尼控制器H(p)。尽管此时尚未确定阻尼信号，仍可借助开环系统的留数指标对SVC进行选址及控制信号选取［11］。


图2　控制器与开环电力系统的连接

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3　罗国俊，徐显华，龙绍清，等.广东—香港联网系统的低频振荡.中国电机工程学报，1986，6(1)：29～35
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　(本站)

Δα°I=ΔαI μΔαS(7)


　　本算例中，由于Gd=Go时，SIG<0，Gd=Gc时，SSG>0，由式(8)知μ为正数。再结合式(7)可以看出：控制器增益的调整将同时加强SVC模式与区域模式的阻尼。在后续分析中，由于SVC模式在Gd=Go的变化趋势限制了Gd的增加，仍考虑SVC模式对区域模式的影响。
　　最后，将式(7)除以Δk/k得到：
　　　　　　　　　　　　　　　S°Ik=SIk μSSk　　　(9)
其中　S°Ik为恒定增益裕度下区域模式对k的联合灵敏度系数；SIk为区域模式单独对k的相对灵敏度系数；SSk为SVC模式对k的相对灵敏度系数。
　　使用联合灵敏度系数，可同时考虑一个参数对两个模式的影响，从而完成控制器参数的最优设计。增益裕度的使用自动保证了SVC模式的稳定性。
2.3.3　对T1，T2的联合灵敏度系数
　　由式(9)可计算出联合灵敏度系数，并以T的函数形式绘出。由于T1，T2具有相同的灵敏度值，仅需二者之一。图3(b)所示为SIT1，μSST1及合成后的S°IT1。由于S°IT1有较高的灵敏度值，取T1=T2=0.1 s为初值，并按照联合灵敏度指示的方向，不断修正T1，T2。本例的最终结果为，T1＝0.0065 s，T2＝0.125s。此时，Go＝0.27，区域模式为-0.27±34.15。T1，T2的联合灵敏度分别如图3(c)中X和O两点所示，已十分接近于0。注意到延时环节最终为一滞后环节，而并非第2.3.1节中简单观察下的超前环节。
2.4　对Gd的联合灵敏度
　　在式(9)中，k=Gd，并计及式(8)后得到：

　　可见，由于增益裕度的考虑，对Gd的联合灵敏度为0。 从而Gd不再变化。
2.5　对隔直环节的时间常数Tw的联合灵敏度
　　隔直环节的传输函数pTw/(1 pTw)可以写成pTb/(1 pTa)。Tb的作用类似于Gd，而Ta类似于T2。因此，
　　　　　　　　　S°ITw=S°ITa S°ITb=S°IT2 0　　　　(11)
　　由图3(c)，当Tw=T2=7s时，S°ITw=S°IT2的值已很小。
　　由以上分析可见，实际设计中真正关心的应是延时环节的时间常数。
2.6　借附加的超前补偿改善阻尼
　　由于对所有参数，即Gd，Tw，T1，T2的联合灵敏度已接近于0，可以认为该控制器的设计已达最优。
　　然而，由图3(c)可见，当T＝0.45 s时，S°IT1的值很大。若多采用一级延时环节，将有助于系统阻尼的改善。再次使用灵敏度分析，最优结果如式(12)所示，而区域模式则为-0.41±j4.08，满足了10％的阻尼比要求［3］。表4列出了此时的其它模式，均不需调整。

表4　使用带附加控制器的SVC后的系统模式
Table 4　System modes for SVC with controller

模式序号αω
1-0.414.08
2-0.475.91
3-1.036.59
4-0.556.74
5-0.897.57
6-0.498.25
SVC-0.9818.01


3　结论
　　本文介绍了一种SVC的设计方法。该方法利用特征根灵敏度分析来优化控制器参数。优化的目标为，在保证SVC模式有9.5 dB安全裕度的前提下，区域模式的阻尼最大。为了能在考虑两个模式的同时对控制器参数进行优化，本文又引进了联合灵敏度的概念，当联合灵敏度值接近于零时，控制器性能达到最优。值得注意的是，由于控制器增益、隔直环节的时间常数的联合灵敏度常接近于零，主要关心的应为延时环节的时间常数，而控制器增益的调节则为了保证SVC模式的稳定性。
致谢：本工作是在香港理工大学的研究生基金支持下完成的，作者在此表示衷心感谢。
作者简介：钟志勇，男，博士研究生，从事电力系统小干扰稳定及电力市场方面的研究。
　　　　王克文，男，博士研究生，来自郑州工业大学电机系。
　　　　谢志棠，男，助理教授，从事电力系统分析和稳定研究。
作者单位：香港理工大学电机系　香港
参考文献
1　Schleif F R, White J H. Damping of the Northwest-Southwest Tieline Oscillations——An Analog Study. IEEE Trans on Power Apparatus and Systems, 1966, 85:1239～1247
2　Law C K, Tse C T, Lee Y B. Dynamic Stability of the China Light and Power System. Paper 4-06. In: 4th Conference on Electric Power Supply Industry. Bangkok: 1982

Fig.2　The connection between the controller
and the open-loop power system
　　当用联络线信息作阻尼信号时，图1中仅有6个点可供选择，即4，12，13，14及两个中间点m1，m2。分析、比较对应于这6个点的留数指标后得出，SVC的最佳安装位置为节点12，且以联络线电流ITL为控制信号。对应于节点12的联络线电流、有功功率、无功功率、视在功率的留数指标示于表2。
表2　对应于节点12的留数指标
Table 2　Residue indices for bus 12

阻尼信号ITLPTLQTLSTL
留数指标1.1961.0290.4971.055


2　阻尼控制器参数设计
　　在表1所示的该系统原有特征根中，模式1不稳定。当在节点12配以SVC后，这6个特征根及新增的SVC模式随SVC控制增益的变化参见表3。从表3中可见：新增的SVC模式非常稳定；模式2至模式6几乎未变；模式1有所改善。
表3　各机电模式随SVC增益Gd的变化
Table 3　Variation of different modes
with respect to SVC controller gain Gd

模式Gd=0Gd=GoGd=2GoGd=3Go
αωαωαωαω
1-0.093.84-0.193.91-0.283.97-0.364.04
2-0.415.82-0.415.83-0.485.86-0.505.89
3-0.486.30-0.586.30-0.716.31-0.876.26
4-0.516.83-0.536.82-0.546.80-0.536.78
5-1.097.69-1.047.68-0.987.69-0.937.71
6-0.528.14-0.538.16-0.558.19-0.578.22
SVC-1.3218.61-0.8818.63-0.4418.670.0118.72
Go=0.073


2.1　阻尼控制器的表达
　　以ΔITL为输入，带有一阶延时环节的阻尼控制器的传输函数如式(1)所示，而电压ΔVref的设置则如图2中所示。

其中　Gd为阻尼控制器的增益；Tw为隔直环节时间常数；T1，T2为延时环节的超前、滞后时间常数；p为微分算子。
　　由于主要关心的振荡频率不会低于0.2 Hz，选择隔直环节的时间常数为7 s，以躲过低频响应及直流偏差。
2.2　控制器增益Gd
　　由表3可见，随着Gd的增加，SVC模式变得不稳定。在模式5轻度恶化的同时，其余5个发电机模式得以改善。因此，Gd的选取不能太接近SVC模式的临界Gd值0.219。本文中取其临界值的三分之一(约9.5 dB裕度)，即Gd＝0.073。
2.3　延时环节时间常数
　　为确定参数变化对特征根的影响，相对灵敏度系数定义为：SRSC =(
λJ/k)k≈ΔλJ/(Δk/k)，其中，k为任意参数。对复数特征根而言，更为关心的是SRSC的实部，即

　　灵敏度分析的主要目的是为参数调整提供指导。由于ΔαJ=SJkΔk/k，当SJk为正时，应减少k值；反之亦然。由此可以确定合适的延时环节的时间常数值。
2.3.1　区域模式的灵敏度分析
　　图3所示为区域模式的相对灵敏度随延时环节时间常数的变化关系。T1，T2的作用常常是大小相等，方向相反，即
　　　　　　　　　　　　　　　　SIT1=-SIT2　　　(3)
　　由图3(a)可知,若单独考虑区域模式，则应加大T1，减少T2，即T1>T2，从而形成一超前补偿环节。



图3　灵敏度与延时环节时间常数的关系
Fig.3　Sensitivities vs controller lead
or lag time constants

2.3.2　联合灵敏度
　　第2.3.1节中的方法略去了控制增益临界值在参数调整过程中的变化，所以需引进联合灵敏度的概念。图4所示为区域模式的特征根实部αI随控制器增益Gd的变化。


图4　阻尼系数与控制器增益Gd的关系
Fig.4　Damping coefficient vs controller gain Gd

　　假设当某参数由k变为k Δk时，系统阻尼得以改善，图4(a)中的实线下移至虚线位置。同时，Gd的初选值Go和临界值Gc均发生变化，如图4(a)所示，且ΔGo=ΔGc/3。由于k及相应的Go变化，总的特征根实部αI的变化为：

其中　SIG为区域模式对Gd在Go点的相对灵敏度值。
　　参照图4(b)，假设由于k的变化，SVC模式在Gc下的零阻尼点变化量为ΔαS。而当Gc变为Gc ΔGc时，阻尼仍为0。从而存在：


其中　αS为SVC模式的特征根实部；SSG为SVC模式对Gd在Gc点处的相对灵敏度值。
　　为了给SVC模式留下恒定的裕度(9.5 dB)，Go，Gc应有相同的变化比例，计及式(5)后，

再将式(6)代入式(4)得到: